Организация исследовательской деятельности учащихся по истории.

Раздел: Статьи и научные труды

Вариационное исчисление для компактных экстремумов в H1 возникло недавно ([1], [2], [3]). Начиная с 20–х годов прошлого века и вплоть до настоящего времени, основное внимание математиков, исследовавших чрезвычайно важные для приложений вариационные задачи в пространствах Соболева, уделя- лось задачам на абсолютный экстремум и условный абсолютный экстремум (см. [4], [5], [6]). Краткий обзор классических условий абсолютного экстремума рассмотрен в п. 2.1. Однако такой подход жестко ограничивает класс допустимых интегральных функционалов. Глубинные причины отсутствия неабсолютных локальных экстремумов у вариационных функционалов в пространствах Соболева были вскрыты в замечательной теореме И.В. Скрыпника ([7]). Теорема утверждает, что основной вариационный функционал дважды дифференцируем по Фреше только тогда, когда в окрестности данной точки интегрант чисто квадратичен по y′: f (x, y, y′) = P (x, y) + Q(x, y) · y′ + R(x, y) · (y′)2. Этот результат исключает (в неквадратичном случае) применение традиционных аналитических методов нахождения локального экстремума и по сути свидетельствует об отсутствии неабсолютных локальных экс- тремумов в рассматриваемой ситуации. Таким образом, компактные экстремумы в H1 играют примерно ту же роль, что и локальные экстремумы в C1, т.е. локальное вариационное исчисление в H1 превращается в локально компактное исчисление. Основной объект, рассмотренный в этом дипломе, — компактные экс- тремумы (или K–экстремумы) вариационных функционалов в про- странстве Соболева H1 функций одной переменной. Диплом построен следующим образом. В первой главе (см. [8], [9]) изложены основы общей теории компактных экстремумов функционалов в гильбертовом пространстве. Здесь выясняется, что «K–понятия» (K–экстремумы, K–непрерывность, K–дифференцируемость и т.д.) хорошо работают, когда известна удобная система универсальных компак- тов, поглощающих все остальные компакты. В гильбертовом пространстве такую систему образуют компактные эллипсоиды. Фундаментальную роль играет тот факт, что индуктивный предел шкалы банаховых пространств, порожденных K–эллипсоидами, совпадает с исходным гильбертовым пространством. Это позволяет получить K–аналитические условия для K–экстремумов, аналогичные классическим. Во второй главе (см. [14], [5], [7]) переходим к вариационным функционалам в H1 и рассмотрим их K–аналитические свойства. Базовым здесь является понятие псевдоквадратичного интегранта, допускающего пред- ставление в виде f (x, y, y′) = P (x, y, y′) + Q(x, y, y′) · y′ + R(x, y, y′) · (y′)2, коэффициенты которого ограничены локально по y и глобально по x и y′. Такой подход позволяет уйти от традиционных жестких квадратичных оценок интегранта и существенно расширяет класс исследуемых функ- ционалов. Рассмотрены вейерштрассовские псевдоквадратичные классы гладкости W K2(z), W 1K2(z) и W 2K2(z), попадание интегранта в которые гарантируeт, соответственно, K–непрерывность, K–дифференцируемость и повторную K–дифференцируемость Φ(y). При этом классические ана- литические свойства у Φ(y), как правило, отсутствуют (как и следовало ожидать, с учетом теоремы Скрыпника ([7])). Описаны простые достаточные условия попадания интегранта в вейерштрассовские классы, поз- воляющие легко строить конкретные примеры. В третьей главе (см. [12], [17], [18], [14]) рассмотрим ряд классических, как необходимых, так и достаточных условий локального экстремума в C1 обобщен на случай K–экстремума вариационного функционала в H1 (уравнение Эйлера–Лагранжа, условие Лежандра, условие Лежандра– Якоби). В частности, выполнение классических достаточных условий экс- тремума в гладкой точке дает информацию и о негладкой части области реализации экстремума (не входящей в C1). Помимо этого, рассмотрено новое достаточное условие экстремума в терминах гессиана интегранта и подробно изучена обратная задача для уравнения Эйлера–Лагранжа, где ситуация заметно отличается от гладкого случая.

Раздел: Статьи и научные труды

Так как мы живём в информационном обществе, современный урок невозможно представить без ИКТ. Наличие технических средств ещё не обеспечивает ни высокий информационный уровень урока, ни коммуникацию между его участниками. Учитель, планируя свой урок, отбирая информацию, определяет формы и методы. Комбинированный урок, который по-прежнему является распространенной формой сегодня в школе, стал почти невозможен без применения ИКТ на каждом этапе урока.

Раздел: Статьи и научные труды

Школьники и преподаватели часто используют в докладах, рефератах и презентациях различный графический материал – фотографии, логотипы, рисунки. Подавляющее большинство, по результатам нашего опроса, не знают правила использования графических изображений и часто нарушают при использовании авторские права. Цель проекта:создание памятки по бесплатному и свободному использованию изображений с соответствующим реестром ресурсов без нарушения авторских прав. Объект исследования – графические файлы сети Интернет. Предмет исследования – создание памятки для использования изображений из Интернета без нарушения авторских прав.